Puh, das ist eine schwierige Frage. Wird es irgendwie funktionieren: Vermutlich ja. Aber ist es sinnvoll: Eher nein.
NVMe SSDs laufen über die PCIe-Schnittstelle (3.0 oder 4.0). Dein Mainboard verfügt nur über einen PCIe 3.0 Anschluss und da wird wohl deine Grafikkarte drinstecken. Übrig bleiben also nur PCIe 2.0 x1 (also eine Lane) Slots. Darüber ist maximal eine Geschwindigkeit von 500 Mbps zu erreichen. Das ist allerdings nicht schneller als SATA, also die Schnittstelle für herkömmliche 2.5"/3.5" Datenträger. Eine Adapter-Karte bräuchtest du auch in jedem Fall, da das Mainboard nicht über M.2-Ports verfügt.
Laufen würde es wohl (Booten geht lt. Internet aber nicht!), aber nur mit absolut ausgebremster Geschwindigkeit. Von daher macht es m.M.n. keinen Sinn.
Besser wäre also, falls noch nicht vorhanden, eine 2.5"-Sata-SSD mit 560 Mbps Geschwindigkeit. Das ist wohl das Maximum, was sich bei dir herausholen ließe. 
Ich weiß es nicht mehr genau, aber soweit ich mich erinnere, musst du die alte Platte abklemmen, damit die neue "c:" werden kann. Was drauf ist, bleibt dabei aber erhalten.
Ein Backup deiner Steam-Spiele kannst du über "Steam / Spiele sichern und wiederherstellen" anlegen und wieder zurückspielen.
Bei Ubisoft musst du in der Regel neu runterladen, wenn du nicht sofort nach dem Herunterladen und vor dem Installieren des Spiels ein Backup der Installationsdateien angelegt hast. (Wer macht das schon?)
Als wichtiger würde ich die Spielstände aller deiner Spiele betrachten. Die werden mal hier und mal da gespeichert, also müsstest du selber mal schauen. Das Einfachste wäre wohl, vorher Cloudsaves anzulegen, wenn die Möglichkeit besteht.
Und kann ich die andere dann später wieder anklemmen,parallel sozusagen um die Spiele rüber zu ziehen? 
Ja bei Steam würde ich die dann bei Zeiten wohl einfach neu herunterladen, die Spielstände bleiben da glaub ich sogar erhalten wenn ich Steam lösche?!
Im Notfall muss ich die eben auf die hdd schubsen und dann auf die neue Ssd wieder zurück 
Und kann ich die andere dann später wieder anklemmen,parallel sozusagen um die Spiele rüber zu ziehen?
Ja, aber du ziehst die Spiele nicht einfach rüber, sondern wählst in Steam deine vorher gesicherten Spiele als Quelle für die Wiederherstellung aus.
Ja bei Steam würde ich die dann bei Zeiten wohl einfach neu herunterladen, die Spielstände bleiben da glaub ich sogar erhalten wenn ich Steam lösche?!
Bei Steam musst du nicht neu herunterladen. Nur bei Ubisoft. Meistens werden Spielstände im Benutzerverzeichnis von Windows gespeichert, die könntest du dann von der alten Platte auf die SSD kopieren, aber wie gesagt, das ist von Spiel zu Spiel verschieden.
So, Installation erfolgt allerdings zeigt er mir meine alte HDD nicht mehr an, wie kann ich mir die wieder anzeigen lassen? 
Installier erstmal fertig. (Windows?)
Falls die Platte dann noch nicht auftaucht, schau mal ins BIOS. Da solltest du die Startreihenfolge auch so einstellen, dass das System von deiner SSD bootet.
Ist fertig, da hab ich schon geschaut aber es irgendwie nicht gefunden
Details dazu müssten im Handbuch deines Motherboards zu finden sein. Meistens kann man die Handbücher auch online als PDF einsehen bzw. herunterladen.
Der Eintrag im BIOS sollte "Bootreihenfolge", "Boot Order" oder so ähnlich heißen und dir die Wahl zwischen den Platten, evtl. CD-Laufwerken und USB-Sticks als Bootmedium anbieten. Dort sollte die SSD auf jeden Fall vor der alten Platte stehen, damit von der SSD gebootet wird.
Da die alte Platte vorher "c:\" war und dieser Laufwerksbuchstabe jetzt durch die neue Platte in Beschlag genommen wurde, wird der alten Platte eventuell ein Laufwerksbuchstabe fehlen und dann wird sie auch nicht angezeigt:
Wird die Platte auch nicht in der Datenträgerverwaltung angezeigt, wenn du so wie in der von Dragondeal verlinkten Dokumentation vorgehst?
Und eine zweite Frage:
Steckt das SATA-Kabel der alten Platte noch auf dem gleichen Anschluss auf dem Motherboard wie vorher?
Um herauszufinden, ob du eine NVMe SSD in dein Mainboard einbauen kannst, musst du zunächst überprüfen, ob dein Mainboard einen M.2-Steckplatz hat. M.2 ist der gängigste Steckplatz für NVMe SSDs. Dieser Steckplatz sieht aus wie ein langer, flacher Steckplatz auf deinem Mainboard. Du kannst in deinem Mainboard-Handbuch nachsehen, ob ein solcher Steckplatz vorhanden ist und welche Art von M.2 SSDs unterstützt werden.
